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日志

 
 

回溯法  

2008-11-16 16:30:41|  分类: 名词解释 |  标签: |举报 |字号 订阅

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回溯法是一种选优搜索法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
  1、回溯法的一般描述
  可用回溯法求解的问题P,通常要能表达为:对于已知的由n元组(x1,x2,…,xn)组成的一个状态空间E={(x1,x2,…,xn)∣xi∈Si ,i=1,2,…,n},给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D,要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域,且 |Si| 有限,i=1,2,…,n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
  解问题P的最朴素的方法就是枚举法,即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束,若满足,则为问题P的一个解。但显然,其计算量是相当大的。
  我们发现,对于许多问题,所给定的约束集D具有完备性,即i元组(x1,x2,…,xi)满足D中仅涉及到x1,x2,…,xi的所有约束意味着j(j<i)元组(x1,x2,…,xj)一定也满足D中仅涉及到x1,x2,…,xj的所有约束,i=1,2,…,n。换句话说,只要存在0≤j≤n-1,使得(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及到x1,x2,…,xj的约束之一,则以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)一定也违反D中仅涉及到x1,x2,…,xi的一个约束,n≥i>j。因此,对于约束集D具有完备性的问题P,一旦检测断定某个j元组(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及x1,x2,…,xj的一个约束,就可以肯定,以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)都不会是问题P的解,因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题,利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
  回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T,把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树,它可以这样构造:
  设Si中的元素可排成xi(1) ,xi(2) ,…,xi(mi-1) ,|Si| =mi,i=1,2,…,n。从根开始,让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边,按从左到右的次序,分别带权xi+1(1) ,xi+1(2) ,…,xi+1(mi) ,i=0,1,2,…,n-1。照这种构造方式,E中的一个n元组(x1,x2,…,xn)对应于T中的一个叶子结点,T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1,x2,…,xn,反之亦然。另外,对于任意的0≤i≤n-1,E中n元组(x1,x2,…,xn)的一个前缀I元组(x1,x2,…,xi)对应于T中的一个非叶子结点,T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1,x2,…,xi,反之亦然。特别,E中的任意一个n元组的空前缀(),对应于T的根。
  因而,在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点,要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1,x2,…,xn满足约束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点,很自然的一种方式是从根出发,按深度优先的策略逐步深入,即依次搜索满足约束条件的前缀1元组(x1i)、前缀2元组(x1,x2)、…,前缀I元组(x1,x2,…,xi),…,直到i=n为止。

  在回溯法中,上述引入的树被称为问题P的状态空间树;树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点;树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点;树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点,它对应于问题P的一个解

 附1:===================================================================================

  • 有许多问题,当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时,往往要使用回溯法。
  • 回溯法的基本做法是搜索,或是一种组织得井井有条的、能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。
  • 回溯法在问题的解空间树中,按深度优先策略,从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时,先判断该结点是否包含问题的解:如果肯定不包含,则跳过对该结点为根的子树的搜索,逐层向其祖先结点回溯;否则,进入该子树,继续按深度优先策略搜索。
  • 问题的解空间
    • 应用回溯法解问题时,首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。
      • 问题的解向量:回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式
      • 显约束:对分量xi的取值限定
      • 隐约束:为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束
      • 解空间:对于问题的一个实例,解向量满足显式约束条件的所有多元组,构成了该实例的一个解空间
      • 注意:同一个问题可以有多种表示,有些表示方法更简单,所需表示的状态空间更小(存储量少,搜索方法简单)
  • 回溯法的基本步骤:
    • (1)针对所给问题,定义问题的解空间;
    • (2)确定易于搜索的解空间结构;
    • (3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
  • 常用剪枝函数:
    • 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树;
    • 用限界函数剪去得不到最优解的子树。
  • 关于复杂性:
    • 用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻,算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n),则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间
    扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
  • 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点
  • 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点
  • 深度优先的问题状态生成法:如果对一个扩展结点R,一旦产生了它的一个儿子C,就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C(以C为根的子树)的穷尽搜索之后,将R重新变成扩展结点,继续生成R的下一个儿子(如果存在)
  • 宽度优先的问题状态生成法:在一个扩展结点变成死结点前,它一直是扩展结点
  • 回溯法:为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态,要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点,以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。
  • 如:

    示例1 0-1背包问题(1)

    • n=3, C=30, w={16, 15, 15}, v={45, 25, 25}
    • 开始时,Cr=C=30,V=0,A为唯一活结点,也是当前扩展结点
    • 扩展A,先到达B结点
      • Cr=Cr-w1=14,V=V+v1=45
      • 此时A、B为活结点,B成为当前扩展结点
      • 扩展B,先到达D
        • Cr<w2,D导致一个不可行解,回溯到B
      • 再扩展B到达E
    • 再扩展B到达E(续)
      • E可行,此时A、B、E是活结点,E成为新的扩展结点
      • 扩展E,先到达J
        • Cr<w3,J导致一个不可行解,回溯到E
      • 再次扩展E到达K
        • 由于K是叶结点,即得到一个可行解x=(1,0,0),V=45
        • K不可扩展,成为死结点,返回到E
      • E没有可扩展结点,成为死结点,返回到B
    • B没有可扩展结点,成为死结点,返回到A

    A再次成为扩展结点,扩展A到达C

    • Cr=30,V=0,活结点为A、C,C为当前扩展结点
    • 扩展C,先到达F
      • Cr=Cr-w2=15,V=V+v2=25,此时活结点为A、C、F,F成为当前扩展结点
      • 扩展F,先到达L
        • Cr=Cr-w3=0,V=V+v3=50
        • L是叶结点,且50>45,皆得到一个可行解x=(0,1,1),V=50
        • L不可扩展,成为死结点,返回到F
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